Relaciones de proporcionalidad entre figuras: IGUALDAD

Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones de proporcionalidad atendiendo a su forma, tamaño o disposición en el plano o en el espacio.

La igualdad es una de estas relaciones. Dos figuras son iguales si al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos.

Existen diferentes procedimientos para crear una igualdad: traslación, giro, triangulación, transportación de ángulos o reproducción por coordenadas.

Traslación: consiste en trasladar una figura desplazando todos sus vértices en sentido recto y a una misma distancia.



Giro: Consiste en desplazar todos sus vértices en sentido circular y con una misma amplitud, desde un punto de giro.



Triangulación: Consiste en descomponer la superficie de una figura en triángulos y trazar copias de ellos.




Transportación de ángulos: Consiste en transportar cada uno de los ángulos de la figura dada.

Tangencias entre Recta y Circunferencia. 2ª PARTE

Trazar la circunferencia tangente a la recta, con un radio determinado y y que pase por un punto (P).





Trazar la circunferencia tangente a 2 rectas, sabiendo el punto de tangencia (T) en una de ellas.

Tangencias entre Recta y Circunferencia. 1ª PARTE

Trazar la circunferencia tangente a la recta por el punto de tangencia (T) y con un radio determinado.





Trazar la circunferencia tangente a la recta por el punto de tangencia (T) y y que pase por un punto (P).





Trazar la circunferencia tangente a 2 rectas y con un radio determinado.

TANGENCIAS: Conceptos previos y normas básicas para la resolución de problemas. LUGARES GEOMÉTRICOS

Además de las dos propiedades de tangencias comentadas anteriormente, debremos tener en cuenta otros conceptos importantes que nos ayudarán a resolver los problemas de tangencias.

De este modo, los problemas de tangencias, que pueden ser muy variados y presentar multitud de casos aparentemente distintos, se solucionarán con sólo aplicar una serie de pautas. Nos decidiremos por aplicar unas u otras pautas en función a los datos que tengamos inicialmente en el problema.


LUGAR GEOMÉTRICO.
Para todo ello vamos a utilizar algunos lugares geométricos. Un lugar geométrico se define como un conjunto de puntos que reúnen una misma condición. Esta definición puede parecer un tanto abstracta y son muchas las figuras geométricas que podremos considerar cono lugares geométricos. Para ello vamos a ver un par de ejemplos:

1.- Un paralela a una recta es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de dicha recta. Es decir, una paralela es el lugar geométrico de todos los puntos que están a una misma distancia de una recta.



2.- Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que están a una misma distancia de otro punto (el centro de dicha circunferencia).



PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE TANGENCIAS.


Primera pauta: (para tangencias entre recta y circunferencias) Si nos dan la recta y el punto de tangencia trazaremos una linea perpendicular por el punto de tangencia.

Esta perpendicular será el lugar geométrico de todos los posibles centros de circunferencias tangentes a la recta por el punto T.

Esta norma se basa en que sabemos que al punto de tangencia llega un radio, de la circunferencia que estamos buscando, perpendicular a la recta.

Segunda pauta: Si nos dan la punto de tangencia y otro punto de la circunferencia trazaremos la mediatriz del segmento que une ambos puntos.

Esta mediatriz será el lugar geométrico de todos los posibles centros de circunferencias que pasen por los dos puntos.

Esta norma se basa en que sabemos, como vimos al trazar la circunferencia que pasa por tres puntos, que la mediatriz de la cuerda de una circunferencia pasa por el centro de esta.


Tercera pauta: (para tangencias entre recta y circunferencias)Si nos dan la recta y radio, pero no tenemos punto de tangencia trazaremos una paralela a la recta a la distancia del radio.

Esta paralela será el lugar geométrico de todos los posibles centros de circunferencias tangentes a la recta con el radio dado.

Esta norma se basa en que sabemos que el centro de la circunferencia tengente está separado de la recto por la medida del radio.


Cuarta pauta: Si nos dan la un único punto de la circunferencia y el radio trazaremos una circunferencia desde el punto y con ese mismo radio.
Sabemos que un punto de la circunferenica está a la distancia del radio de su centro.

Al trazar una circunferencia desde un punto, con un radio concreto, estamos determinando el lugar geométrico de todos los posibles centros de circunferencias, que con ese radio, pasen por el punto.

Quinta pauta: Si nos dan la circunferenia y punto de tangencia (T): 
a- En el caso de tangencia entre recta y circunferencia, simplemente dibujaremos la recta pasando por T y perpendicular al radio que pasa por dicho punto.
Se basa en el mismo criterio que usamos en la primera norma, pero aplicado a la inversa.

b- En el caso de tangencia entre dos circunferencias, trazaremos una recta que pase por el centro y el punto T.
Esta recta marcará el lugar geometrico de todos los posibles centros de circunferencias tangentes a la circunferencia dada y por el punto T.
Esta norma se basa en que sabemos que los centros de dos circunferencias tangentes y el punto de tangencia se encuentran alineados.

Sexta pauta: (para tangencias exteriores entre dos circunferencias) Si nos dan la circunferencia y radio trazaremos un arco de compás con la suma de ambos radios, el de la circunferencia dada y el radio dado.
Este arco de compás determinará el lugar geométrico de todos los posibles centros de circunferencias con dicho radio tangentes a la circunferencia dada.

Se basa en que sabemos que los centros de dos circunferencias tangentes se encuentran separados por la suma de ambos radios.

 

TANGENCIAS

Decimos que dos elementos geométricos son tangentes cuando tienen un único punto en común.

Antes de empezar a trabajar con tangencias es preciso tener en cuenta algunas de sus propiedades. Estas propiedades junto al conocimiento de otros trazados básicos y lugares geométricos nos darán una serie de normas o pautas a seguir a la hora de resolver problemas de tangencias.

1ª Propiedad entre recta y circunferencia tangentes: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia. Dicho de otro modo, del punto de tangencia parte un radio perpendicular a la recta.

2º Propiedad para dos circunferencias tangentes: El punto de tangencia está situado en recta que pasa por los centros de ambas circunferencias. es decir los centros y el punto de tangencia se encuentran alineados.

TRAZADO DE POLÍGONOS PARTIENDO DEL LADO

Triángulo equilatero partiendo de un lado.


Cuadrado partiendo de un lado.


Pentágono partiendo de un lado.


Hexágono partiendo de un lado.

TRAZADO DE POLÍGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Triángulo equilátero inscrito en una circunferencia.





Cuadrado y octógono inscritos en una circunferencia.





Pentágono inscrito en una circunferencia.





Hexágono inscrito en una circunferencia.





Heptágono inscrito en una circunferencia.

TRIÁNGULOS

TRIÁNGULO.

El triángulo es un polígono de tres lados.

Los vértices del triángulo se nombran con letras mayúsculas (A,B y C) y en sentido opuesto a las agujas del reloj. Los lados se nombran con la letra del vértice opuesto, pero en minúscula'(a, b y c).

CLASIFICACIÓN

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Triángulo equilátero: sus tres lados tienen la misma longitud. Sus ángulos también serán iguales (60º)
• Triángulo isósceles: Tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
• Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. Por lo tanto, sus ángulos también serán diferentes.
  

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores de 90°. El triángulo equilátero es un triángulo acutángulo.

Se llama altura de un triángulo al segmento que une un vértice del triángulo con el lado opuesto (o su prolongación) formando un ángulo recto (90º).

POLÍGONOS

POLÍGONOS:

Un polígono es una figura geométrica cerrada, formada por segmentos consecutivos y no alineados, llamados lados.

Nombres de polígonos según su número de lados:

NOMBRE	Número de lados
Triángulo	3
Cuadrilátero	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octógono	8
Eneágono	9
Decágono	10

Trazar una circunferencia partiendo de 3 puntos no alineados.

Para realizar la circunferencia que pasa por tres puntos necesitaremos hallar su centro. Una vez lo hallamos conseguido, sabremos que su radio será la distancia desde el centro a cualquiera de los tres puntos.

Circunferencia. Definición, elementos y posiciones relativas.

La circunferencia es una linea curva y cerrada, formada por puntos que están a la misma distancia de otro punto llamado centro.

Elementos de la circunferencia:

Centro : Punto que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.


Arco: porción de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Divide la circunferencia en dos partes iguales.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. La cuerda de mayor tamaño de una circunferencia es el diámetro.

Semicircunferencia: arco que comprende media circunferencia.



El círculo es la porción del plano limitada por una circunferencia.


Posiciones relativas de recta y circunferencia.

Una recta puede tener distintas posiciones respecto a una circunferencia:

Exterior: no tiene ningún punto en común con la circunferencia.

Tangente: tiene un único punto en común con la circunferencia y es perpendicular al radio que pasa por ese punto.

Secante: corta la circunferencia por dos puntos.



Posiciones relativas de dos circunferencias.

Según su posición, dos circunferencias pueden ser:

Exteriores: no tienen ningún punto en común.

Tangentes exteriores: tienen un único punto en común y el resto de una está fuera de la otra.

Tangentes interiores: tienen un único punto en común y una está dentro de la otra.

Secantes: se cortan en dos puntos.

Interiores: Una está dentro de la otra, pero no comparten centro.

Concéntricas: Comparten el mismo centro.

Bisectriz de dos rectas concurrentes

Cuando trazamos la bisectriz de dos rectas concurrentes estamos dibujando la bisectriz del ángulo que formarían esas dos rectas en su punto de corte. Se traza cuando el vértice del ángulo formado por las dos rectas queda fuera de nuestro espacio de trabajo.

MÉTODO Nº 1: PARALELAS.






MÉTODO Nº 2: RECTA AUXILIAR.

Bisectriz de un ángulo.

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide a este en dos ángulos iguales.

Trazado de paralelas y perpendiculares con escuadra y cartabón.

Trazado de rectas paralelas.

Sigue las indicaciones de las fotografías. Estos trazados con plantillas son muy importantes para la realización de dibujos más avanzados. Es aconsejable que practiques para adquirir cierta agilidad.

Paso 1: coloca la escuadra sobre el papel y traza una recta (preferiblemente por el lado más amplio de la escuadra).

Paso 2: Coloca el cartabón junto a la escuadra como aparece en el dibujo siguiente, con mucho cuidado de que esta no se mueva.

Paso 3:Ahora debes sujetar firmemente el cartabón y deslizar la escuadra para trazar las paralelas.

Trazado de rectas perpendiculares.

Paso 1: Coloca la escuadra y el cartabón del mismo modo que para trazar paralelas (ver imagen anterior de trazado de paralelas).

Paso 2: traza una recta.

Paso 3: sujeta el cartabón y gira la escuadra hasta cambiar su lado de apoyo sobre el cartabón (ver la viñeta 4).

Paso 4: desliza la escuadra sobre el cartabón hasta conseguir la posición donde deseas trazar la perpendicular (ver la viñeta 5).

Paso 5: traza la recta perpendicular.




Perpendicular a un segmento (o semirrecta) por uno de sus extremos.
Para la realización del siguiente ejercicio utilizaremos el compás y una regla.

Relaciones entre rectas.

Dos o más rectas pueden relacionarse entre si según sus posiciones:

PARALELAS: Se dice que dos rectas son paralelas si siempre se mantienen a una misma distancia entre si, y nunca se llegan a cortar.

PERPENDICULARES: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos rectos (90 grados).

SECANTES: Dos rectas son secantes cuando al se cortan formando ángulos distintos al ángulo recto.

Elementos geométricos básicos.

PUNTO: Mínima unidad geométrica. No tiene longitud, ni profundidad, ni anchura.

LÍNEA: Se define como una sucesión de puntos. No tiene ni principio ni fin. Se puede distinguir dos tipos:

Línea recta: sucesión de puntos con una dirección fija.

Línea curva: sucesión de puntos con una dirección variable.

SEMIRRECTA: Es una línea recta que tiene principio, pero no tiene fin. Es una recta limitada en uno de sus extremos.

SEGMENTO: Es una línea recta con principio y fin. Una porción de recta limitada por dos puntos.

ÁNGULO: Porción del plano delimitada por dos líneas que se cortan en un punto llamado vértice.

Material de Dibujo Geométrico

 El dibujo geométrico se realiza con la ayuda de material específico para garantizar la precisión en los trazados.
El material básico estaría formado por una regla graduada (de 30 cm. como mínimo), una escuadra, un cartabón y un compás. Para dibujar deberemos usar un portaminas de 0,5 mm. y una goma.

REGLA GRADUADA: La emplearemos para trazar rcetas o tomar medidas. Es muy importante mantener en buen estado el canto para conseguir buenos resultados.

ESCUADRA: Es una plantilla de forma triangular formada por dos ángulos de 45º y uno de 90º.

CARTABÓN: Es una plantilla de forma triangular formada por ángulos de 30, 60 y 90 grados.

COMPÁS: Lo utilizaremos para dibujar circunferencias, trazar arcos o transportar medidas.